Question

4．已知平面上的点集A及点P，在集合A内任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到集合A的距离，记作d（P，A），如果A={（x，y）|x²+y²=1}，点P坐标为$（2\sqrt{2}，2\sqrt{2}）$，那么d（P，A）=2；如果点集A所表示的图象是半径为2的圆，那么点集D={P|d（P，A）≤1}所表示的图形的面积为8π．

Answer 1

分析 集合A={（x，y）|x²+y²=4}表示圆心为O，半径r为2的圆上所有点，且P在圆外，则有d（P，A）=|PO|-r，计算即可得到．对于D={P|d（P，A）≤1}，讨论P在圆上和圆外及圆内，得到P的轨迹，运用圆的面积公式计算即可得到．

解答 解：集合A={（x，y）|x²+y²=4}表示圆心为O，半径r为2的圆上所有点，
点P的坐标为$（2\sqrt{2}，2\sqrt{2}）$，由|PO|=4＞2，即有P在圆外，
那么d（P，A）=|PO|-r=4-2=2，
如果点集A所表示的图形是半径为2的圆，
若点P在圆上满足集合D，
P在圆外，则为介于圆心为O，半径分别为2，3的圆环，
其面积为9π-4π=5π，
P在圆内，则为介于圆心为O，半径分别为1，2的圆环，
其面积为4π-π=3π，
那么点集D={P|d（P，A）≤1}所表示的图形的面积为5π+3π=8π．
故答案为：2，8π．

点评 本题考查点和圆的位置关系，主要考查两点距离的最小值，理解点P到集合A的距离的新定义，并运用是解题的关键．