Question

19．在△ABC中，$\overrightarrow{MB}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$，且对AB边上任意一点N，恒有$\overrightarrow{NB}$•$\overrightarrow{NC}$≥$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MC}$，则有（　　）

• A． AB⊥BC
• B． AB⊥AC
• C． AB=AC
• D． AC=BC

Answer 1

分析 分别取AB，BC的中点D，E，将$\overrightarrow{NB}$•$\overrightarrow{NC}$表示为向量等式，得到$\overrightarrow{NB}$•$\overrightarrow{NC}$取最小值是的位置即可得到正确答案．

解答 解：分别取AB，BC的中点D，E，所以$\overrightarrow{NB}$•$\overrightarrow{NC}$=（$\overrightarrow{EB}-\overrightarrow{EN}$）•（$\overrightarrow{EC}-\overrightarrow{EN}$）=|NE|²-|BE|²，
当且仅当N到E的距离最小时，$\overrightarrow{NB}$•$\overrightarrow{NC}$取最小值，
由题意，N与M重合时$\overrightarrow{NB}$•$\overrightarrow{NC}$取得最小值，因此M到E的距离最近，
所以EM⊥AB，而CD∥EM，所以CD⊥AB，而CD是中线，
所以CA=CB；
故选D．

点评 本题考查了平面向量的运算；关键是结合几何图形得到不等式中等号成立时的位置．