Question

18．已知点P₁（x₀，y₀）为双曲线$\frac{{x}^{2}}{8{b}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b为正常数）上任一点，F₂为双曲线的右焦点，过P作直线x=$\frac{8b}{3}$的垂线，垂足为A，连接F₂A并延长交y轴于P₂．
（1）求线段P₁P₂的中点P的轨迹E的方程；
（2）设轨迹E与x轴交于B、D两点，在E上任取一点Q（x₁，y₁）（y₁≠0），直线QB，QD分别交y轴于M，N两点．求证：以MN为直径的圆过两定点．

Answer 1

分析 （1）由已知得F₂（3b，0），A（$\frac{8}{3}$b，y₀），则直线F₂A的方程为：y=-$\frac{3{y}_{0}}{b}$（x-3b），令x=0得P₂（0，9y₀），设P（x，y），则$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{0}}{2}}\\{y=\frac{{x}_{0}+9{y}_{0}}{2}=5{y}_{0}}\end{array}\right.$，由此能求出P的轨迹E的方程；
（2）在$\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{25{b}^{2}}$=1中，令y=0得x²=2b²，设B，D的坐标，得到直线QD，QB的方程，求得M，N的坐标，由此能导出以MN为直径的圆过两定点（-5b，0），（5b，0）．

解答 解：（1）由已知得F₂（3b，0），A（$\frac{8}{3}$b，y₀），
则直线F₂A的方程为：y=-$\frac{3{y}_{0}}{b}$（x-3b），
令x=0得y=9y₀，即P₂（0，9y₀），
设P（x，y），则$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{0}}{2}}\\{y=\frac{{x}_{0}+9{y}_{0}}{2}=5{y}_{0}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2x}\\{{y}_{0}=\frac{y}{5}}\end{array}\right.$代入$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8{b}^{2}}$-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=1得：$\frac{4{x}^{2}}{8{b}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{25{b}^{2}}$=1，
即P的轨迹E的方程为$\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{25{b}^{2}}$=1．
（2）证明：在$\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{25{b}^{2}}$=1中令y=0得x²=2b²，
则不妨设B（-$\sqrt{2}$b，0），D（$\sqrt{2}$b，0），
于是直线QB的方程为：y=$\frac{{y}_{1}}{\sqrt{2}b+{x}_{1}}$（x+$\sqrt{2}$b），
∴直线QD的方程为：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-\sqrt{2}b}$（x-$\sqrt{2}$b），
则M（0，$\frac{\sqrt{2}b{y}_{1}}{{x}_{1}+\sqrt{2}b}$），N（0，$\frac{-\sqrt{2}b{y}_{1}}{{x}_{1}-\sqrt{2}b}$），
则以MN为直径的圆的方程为：x²+（y-$\frac{\sqrt{2}b{y}_{1}}{{x}_{1}+\sqrt{2}b}$）（y-$\frac{-\sqrt{2}b{y}_{1}}{{x}_{1}-\sqrt{2}b}$），
令y=0得：x²=$\frac{2{b}^{2}{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}-2{b}^{2}}$，
而Q（x₁，y₁）在$\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{25{b}^{2}}$=1上，则x₁²-2b²=$\frac{2}{25}$y₁²，
于是x=±5b，
即以MN为直径的圆过两定点（-5b，0），（5b，0）．

点评 本题考查轨迹方程的求法和求证以MN为直径的圆过两定点．解题时要认真审题，熟练掌握圆锥曲线的性质，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．