Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，正方体内衣球O₁与面ABCD，BCC₁B₁，ABB₁A₁均相切，正方体内另一球O₂与面ADD₁A₁，A₁B₁C₁D₁，CDD₁C₁均相切，且两球外切，那么两球表面积之和的最小值是

（6-3

3

）π

．

Answer 1

分析：设球O₁、O₂的半径分别为r₁、r₂，可得BD₁=BO₁+O₁O₂+O₂D₁=（1+

3

）（r₁+r₂）=

3

，从而得到r₁+r₂=

3- 3

2

．再根据基本不等式，得r₁²+r₂²≥

1

2

（r₁+r₂）²=

6-3 3

4

，当且仅当r₁=r₂=

3- 3

4

时等号成立，由此结合球的表面积公式，即可得到两球表面积之和的最小值．

解答：解：根据题意，得
BD₁=BO₁+O₁O₂+O₂D₁=

3

AA₁=

3

，
设球O₁、O₂的半径分别为r₁、r₂，根据正方体的性质和球与平面、球与球相切的性质，得BO₁=

3

r₁，O₁O₂=r₁+r₂，O₂D₁=

3

r₂，
∴（

3

+1）（r₁+r₂）=

3

，得r₁+r₂=

3

3 +1

=

3- 3

2

由基本不等式，得2（r₁²+r₂²）≥（r₁+r₂）²=3-

3 3

2

，
∴r₁²+r₂²≥

6-3 3

4

，当且仅当r₁=r₂=

3- 3

4

时等号成立
因此，两球表面积之和S₁+S₂=4π（r₁²+r₂²）≥（6-3

3

）π
故答案为：（6-3

3

）π

点评：本题给出正方体内两个相切的球分别与正方体的三个面相切，求两个球的表面积之和的最小值，着重考查了正方体的性质和球与平面、球与球相切的性质，基本不等式及球的表面积公式等知识，属于中档题．