Question

11．已知圆锥的侧面积为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为1；这个圆锥的体积为$\frac{\sqrt{3}π}{3}$．

Answer 1

分析 由圆锥的侧面积为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，得到$\frac{π{R}^{2}}{2}$=2π，求出R即为母线l=2，从而得到底面半径和这个圆锥的体积．

解答 解：∵圆锥的侧面积为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，
∴$\frac{π{R}^{2}}{2}$=2π
所以R²=4，R=±2，舍去-2，R=2
因为R即为母线l，且πrl=2π
∴底面半径r=1，
设圆锥的母线长是l，半圆的弧长是πl，
由于圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，
则2π=πl，则l=2，所以圆锥的高为$\sqrt{3}$，
故圆锥的体积为$\frac{1}{3}×π×{1}^{3}$=$\frac{\sqrt{3}π}{3}$．
故答案为：1，$\frac{{\sqrt{3}π}}{3}$．

点评 本题考查圆锥的底面半径长和圆锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．