Question

7．当0＜x＜$\frac{1}{a}$时，若函数y=x（1-ax）的最大值为$\frac{1}{12}$，则a=3．

Answer 1

分析 配方得到函数y=-a（x-$\frac{1}{2a}$）²+$\frac{1}{4a}$，当x=$\frac{1}{2a}$时，函数有最大值，即可得到$\frac{1}{12}$=$\frac{1}{4a}$，解得即可．

解答 解：函数y=x（1-ax）=-ax²+x=-a（x-$\frac{1}{2a}$）²+$\frac{1}{4a}$，
∵0＜x＜$\frac{1}{a}$，
∴$\frac{1}{2a}$∈（0，$\frac{1}{a}$），
∴当x=$\frac{1}{2a}$时，函数有最大值，
∵函数y=x（1-ax）的最大值为$\frac{1}{12}$，
∴$\frac{1}{12}$=$\frac{1}{4a}$，
∴a=3，
故答案为：3．

点评 本题考查了二次函数的性质以及二次函数的最值问题，属于基础题．