Question

12．已知tan（$\frac{π}{4}$+α）=3，计算：
（1）tanα；  
（2）tan2α；       
（3）$\frac{2sinαcosα+3cos2α}{5cos2α-3sin2α}$．

Answer 1

分析 （1）利用特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式即可解得tanα的值；  
（2）利用二倍角的正切函数公式即可得解tan2α的值；       
（3）利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求值得解．

解答 解：（1）∵tan（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{tanα+1}{1-tanα}$=3，
解得：tanα=$\frac{1}{2}$；  
（2）tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{2×\frac{1}{2}}{1-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{4}{3}$；       
（3）$\frac{2sinαcosα+3cos2α}{5cos2α-3sin2α}$=$\frac{sin2α+3cos2α}{5cos2α-3sin2α}$=$\frac{tan2α+3}{5-3tan2α}$=$\frac{13}{3}$．

点评 本题主要考查了特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式，二倍角的正切函数公式，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．