Question

20．已知向量$\overrightarrow a$=（1，2），$\overrightarrow b$=（-3，4）．
（1）求$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角的正弦值；
（2）若$\overrightarrow a$⊥（$\overrightarrow a$+λ$\overrightarrow b$），求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）运用向量的数量积的坐标表示和向量模的公式，求得向量夹角的余弦值，由同角的平方关系，可得夹角正弦值；
（2）运用向量垂直的条件：数量积为0，解方程即可得到所求值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow a$=（1，2），$\overrightarrow b$=（-3，4），
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1×（-3）+2×4=5，
|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{9+16}$=5，
则cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{5}{5\sqrt{5}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
sin＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\sqrt{1-\frac{1}{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）$\overrightarrow a$⊥（$\overrightarrow a$+λ$\overrightarrow b$），则$\overrightarrow a$•（$\overrightarrow a$+λ$\overrightarrow b$）=0，
即有$\overrightarrow{a}$²+λ$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
即5+5λ=0，
解得λ=-1．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示和向量的夹角的正弦值，同时考查向量垂直的条件：数量积为0，运算化简能力，属于基础题．