Question

17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，b=3，cosC=$\frac{1}{3}$，则sinA=$\frac{{4\sqrt{2}}}{9}$．

Answer 1

分析 由余弦定理可得：解得c=3．△ABC是等腰三角形．于是cosC=$\frac{1}{3}$=sin$\frac{A}{2}$，cos$\frac{A}{2}$=$\sqrt{1-si{n}^{2}\frac{A}{2}}$．利用sinA=2sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$即可得出．

解答 解：由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC=2²+3²-2×2×3×$\frac{1}{3}$=9，
解得c=3．
∴△ABC是等腰三角形．
∴cosC=$\frac{1}{3}$=sin$\frac{A}{2}$，
cos$\frac{A}{2}$=$\sqrt{1-si{n}^{2}\frac{A}{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴sinA=2sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$=$\frac{{4\sqrt{2}}}{9}$，
故答案为：$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．

点评 本题考查了余弦定理、等腰三角形的性质、倍角公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．