Question

2．已知边长为2的正方形ABCD所在的平面与△CDE所在平面交于CD，且AE⊥平面CDE，AE=1．
（Ⅰ）求证：平面ABCD⊥平面ADE；
（Ⅱ）设点F为棱BC上一点，当点F满足CF=2FB时，求直线AD与面AEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）由AE⊥平面CDE得出CD⊥AE，又CD⊥AD，得出CD⊥平面ADE，于是平面ABCD⊥平面ADE；
（II）以D为原点建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{DA}$和平面AEF的法向量$\overrightarrow{n}$，则线AD与面AEF所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{DA}$＞|．

解答 证明：（1）∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD．
∵四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD．
又AD?平面ADE，AE?平面ADE，AD∩AE=A，
∴CD⊥平面ADE，又CD?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面ADE．
（II）过A作z轴∥AE，则z轴⊥平面CDE．
∵CD⊥平面ADE，DE?平面ADE，
∴CD⊥DE．
以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（0，$\sqrt{3}$，1），E（0，$\sqrt{3}$，0），F（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2}{3}$）．
∴$\overrightarrow{DA}$=（0，$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{EA}$=（0，0，1），$\overrightarrow{EF}$=（2，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2}{3}$）．
设平面AEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{z=0}\\{2x-\frac{\sqrt{3}}{3}y+\frac{2}{3}z=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2$\sqrt{3}$，0）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}$=6，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{13}$，|$\overrightarrow{DA}$|=2，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{DA}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{DA}|}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
∴直线AD与面AEF所成角的正弦值为$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

点评 本土你考查了面面垂直的判定，线面角的计算，考查了空间向量的应用，属于中档题．