Question

7．函数f（x）=Asin（?x+φ）（A＞0，0＜?＜4，|φ|＜$\frac{π}{2}$）过点（0，$\frac{1}{2}$），且当x=$\frac{π}{6}$时，函数f（x）取得最大值1．
（1）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数g（x），求函数g（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，函数h（x）=f（x）+g（x）+2cos²x-1，如果对于?x₁，x₂∈R，都有h（x₁）≤h（x）≤h（x₂），求|x₁-x₂|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由函数的最值求出A，由特殊点的坐标求出φ的值，由五点法作图求出ω，可得f（x）的解析式，再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式．
（2）由条件利用正弦函数的最值以及周期性，求得|x₁-x₂|的最小值．

解答 解：（1）由题意A=1，将点（0，$\frac{1}{2}$）代入解得 $sinφ=\frac{1}{2}$，$φ=\frac{π}{6}$，
再根据$?×\frac{π}{6}+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，结合0＜?＜4，
所以?=2，$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$．
将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数 $g（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）$的图象．
（2）函数h（x）=f（x）+g（x）+2cos²x-1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），故函数的周期T=π．
对于?x₁，x₂∈R，都有h（x₁）≤h（x）≤h（x₂），故|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{2}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由特殊点的坐标求出φ的值，由五点法作图求出ω，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．