Question

12．过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点．
（1）|OA|•|OB|最小时，求直线l的方程；
（2）2|OA|+|OB|最小时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 法一：（1）先求出$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=1，根据基本不等式的性质得到ab的最小值，从而求出直线方程；（2）根据基本不等式的性质得到关于a，b的方程组，解出a，b，求出方程即可；法二：（1）设直线l的方程为y-1=k（x-2），（k＜0），求出其与坐标轴的交点坐标，表示出|OA|•|OB|，根据基本不等式的性质求出k的值，从而求出直线方程；
（2）表示出2|OA|+|OB|，根据基本不等式的性质求出k的值，求出直线方程即可．

解答 解：方法 一：设|OA|=a，|OB|=b，则直线l的方程为：
$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1，（a＞2，b＞1），由已知可得：$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=1；--------------------（2分）
（1）∵2$\sqrt{\frac{2}{a}•\frac{1}{b}}$≤$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=1，∴ab≥8，-------------------------------------（4分）
当且仅当$\frac{2}{a}$=$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}$，即a=4，b=2时，ab取最小值4．------------------------（6分）
此时直线l的方程为$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{2}$=1，即为x+2y-4=0．
故|OA|•|OB|最小时，所求直线l的方程为：x+2y-4=0．-------------------------（7分）
（2）由$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=1得：2a+b=（2a+b）•（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$）=5+$\frac{2b}{a}$+$\frac{2a}{b}$≥5+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{2a}{b}}$=9-----（10分）
当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2b}{a}=\frac{2a}{b}}\\{\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1}\end{array}\right.$，即a=3，b=3时，2a+b取最小值9．-----------------（12分）
此时直线l的方程为$\frac{x}{3}$+$\frac{y}{3}$=1，即x+y-3=0．
故@|OA|+|OB|最小时，所求直线l的方程为x+y-3=0．----------------------------（14分）
方法二：设直线l的方程为y-1=k（x-2），（k＜0），
则l与x轴、y轴正半轴分别交于A（2-$\frac{1}{k}$，0）、B（0，1-2k）．--------------（2分）
（1）|OA|•|OB|=（2-$\frac{1}{k}$）•（1-2k）=4+（-4k）+（-$\frac{1}{k}$）≥4+2$\sqrt{（-4k）•（-\frac{1}{k}）}$=8，---------（4分），
当且仅当-4k=-$\frac{1}{k}$，即k=-$\frac{1}{2}$时取最小值8．----------------------------（6分）
故|OA|•|OB|最小时，所求直线l的方程为y-1=-$\frac{1}{2}$（x-2），即x+2y-4=0．---------（7分）
（2）2|OA|+|OB|=2（2-$\frac{1}{k}$）+（1-2k）=5+（-$\frac{2}{k}$）+（-2k）≥5+2$\sqrt{（-\frac{2}{k}）•（-2k）}$=9，---------（10分）
当且仅当-$\frac{2}{k}$=-2k，即k=-1时取得最小值9．------------------------------------（12分）
故2|OA|+|OB|最小时，所求直线l的方程为y-1=-（x-2），即x+y-3=0．----------（14分）

点评 本题考查了直线方程问题，考查基本不等式性质的应用，是一道中档题．