Question

2．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）+sin2x+a的最大值为1．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数g（x）的图象，若方程g（x）=m在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的增区间，求得函数f（x）的单调递增区间．
（2）利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得m的范围．

解答 解：∵函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）+sin2x+a=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）+sin2x+a
=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x+a=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+a 的最大值为2+a=1，
∴a=-1．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，
可得函数的增区间为[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
（2）∵将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]-1
=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）-1的图象，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{2π}{3}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]，
∴当2x+$\frac{2π}{3}$=$\frac{2π}{3}$时，g（x）取得最大值为$\sqrt{3}$-1；
当2x+$\frac{2π}{3}$=$\frac{3π}{2}$时，g（x）取得最小值-3，
故-3≤m≤$\sqrt{3}$-1．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的增区间，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．