Question

1．已知$\overrightarrow{u}$=（x，y），$\overrightarrow{v}$=（y，2y-x）的对应关系用$\overrightarrow{v}$=f（$\overrightarrow{u}$）表示．
（1）证明对于任意向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$及常数m、n，恒有f（m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$）=mf（$\overrightarrow{a}$）+nf（$\overrightarrow{b}$）成立．
（2）设$\overrightarrow{a}$=（-2，0），$\overrightarrow{b}$=（cosα，sinβ），2cosβ-sinα=2，且f（$\overrightarrow{a}$）•f（$\overrightarrow{b}$）=2，求α+β．

Answer 1

分析 （1）设$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{b}$=（x₂，y₂），根据对于法则分别计算f（m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$），mf（$\overrightarrow{a}$）+nf（$\overrightarrow{b}$）即可得出结论；
（2）求出f（$\overrightarrow{a}$），f（$\overrightarrow{b}$），根据f（$\overrightarrow{a}$）•f（$\overrightarrow{b}$）=2得出2sinβ-cosα=1，将上式和2cosβ-sinα=2两边平方相加得出sin（α+β）=0，从而求出α+β．

解答 证明：（1）设$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{b}$=（x₂，y₂），
则m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$=（mx₁+nx₂，my₁+ny₂），
∴f（$\overrightarrow{a}$）=（y₁，2y₁-x₁），f（$\overrightarrow{b}$）=（y₂，2y₂-x₂），
∴mf（$\overrightarrow{a}$）+nf（$\overrightarrow{b}$）=（my₁+ny₂，2my₁+2ny₂-mx₁-nx₂），
而f（m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$）=（my₁+ny₂，2my₁+2ny₂-mx₁-nx₂），
∴f（m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$）=mf（$\overrightarrow{a}$）+nf（$\overrightarrow{b}$）．
解：（2）f（$\overrightarrow{a}$）=（0，2），f（$\overrightarrow{b}$）=（sinβ，2sinβ-cosα），
∴f（$\overrightarrow{a}$）•f（$\overrightarrow{b}$）=4sinβ-2cosα=2，即2sinβ-cosα=1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2cosβ-sinα=2}\\{2sinβ-cosα=1}\end{array}\right.$，
将两式平方相加得：5-4cosβsinα-4sinβcosα=5，
∴sinαcosβ+cosαsinβ=0，
即sin（α+β）=0，
∴α+β=kπ．k∈Z．

点评 本题考查了对新定义的理解，平面向量的坐标运算和数量积运算，属于中档题．