Question

11．在△ABC中，b=4，c=3，BC边上的中线m=$\frac{\sqrt{37}}{2}$，求∠A，a以及面积S．

Answer 1

分析 分别在△ABD和△ACD中使用余弦定理求出cos∠ADB，cos∠ADC，根据两角的关系列方程解出a，使用余弦定理计算cosA，得出A，代入面积公式计算面积．

解答 解：设BC的中点为D，则AD=$\frac{\sqrt{37}}{2}$．BD=CD=$\frac{a}{2}$．
在△ABD中，由余弦定理得：cos∠ADB=$\frac{A{D}^{2}+B{D}^{2}-A{B}^{2}}{2AD•BD}$=$\frac{\frac{37}{4}+\frac{{a}^{2}}{4}-9}{\frac{\sqrt{37}a}{2}}$，
在△ACD中，由余弦定理得：cos∠ADC=$\frac{A{D}^{2}+C{D}^{2}-A{C}^{2}}{2AD•CD}$=$\frac{\frac{37}{4}+\frac{{a}^{2}}{4}-16}{\frac{\sqrt{37}a}{2}}$．
∵∠ADB+∠ADC=π，
∴cos∠ADB+cos∠ADC=0，即$\frac{37}{4}+\frac{{a}^{2}}{4}-9+\frac{37}{4}+\frac{{a}^{2}}{4}-16=0$．
解得a=$\sqrt{13}$．
在△ABC中，由余弦定理得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{16+9-13}{2•4•3}$=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×4×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了余弦定理，三角形的面积计算，属于中档题．