Question

17．在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是矩形，AF=a，点M在线段EF上．
（1）求证：BC⊥AM；
（2）若AM∥平面BDE，试求线段AM的长．

Answer 1

分析 （1）由已知及等腰梯形的性质，勾股定理可证明AC⊥BC，又平面ACEF⊥平面ABCD，从而可证BC⊥平面ACEF，进而可证BC⊥AM．
（2）设AC与BD交于点N，由AM∥平面BDE，可得四边形ANEM是平行四边形，可得AM=EN，由CD=a，CN=DN，∠DNC=120°，解得$CN=\frac{a}{{\sqrt{3}}}$，又CE=a，从而可求EN，进而可求AM的值．

解答 证明：（1）由题意知，梯形ABCD为等腰梯形，且$AB=2a，AC=\sqrt{3}a$，
由AB²+BC²=AC²，可知AC⊥BC，
又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD=AC，BC?平面ABCD，
所以BC⊥平面ACEF，
又AM?平面ACEF，
所以BC⊥AM．
解：（2）设AC与BD交于点N，因为AM∥平面BDE，AM?平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE=EN，
所以AM∥EN，FE∥AC，故四边形ANEM是平行四边形，
所以AM=EN，由CD=a，CN=DN，∠DNC=120°，
所以$CN=\frac{a}{{\sqrt{3}}}$，又CE=a，
所以$EN=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}a$，
所以$AM=\frac{2}{3}\sqrt{3}a$．

点评 本题主要考查了线面垂直的判定，菱形的性质，勾股定理，三角函数的应用，考查了线面平行的性质定理，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．