Question

17．如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=1，AB=AC=$\sqrt{2}$，D为BC的中点，过点D作DQ平行于AP，且DQ=1．连接QB，QC，QP
（1）证明：AQ⊥平面PBC；
（Ⅱ）求直线BC与平面ABQ所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）以A为原点建系，求出$\overrightarrow{AQ}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BP}$的坐标，通过计算$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BC}$=0，$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BP}$=0得出AQ⊥BC，AQ⊥BP，于是得出AQ⊥平面PBC；
（II）求出平面ABQ的法向量$\overrightarrow{n}$，则直线BC与平面ABQ所成角的正弦值等于|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BC}$＞|，利用同角三角函数得到关系得出线面角的余弦值．

解答 解：（I）以A为坐标原点，以AB，AC，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则A（0，0，0），B（$\sqrt{2}$，0，0），C（0，$\sqrt{2}$，0），P（0，0，1），Q（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．
∴$\overrightarrow{AQ}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{BP}$=（-$\sqrt{2}$，0，1）．
∴$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BC}$=0，$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BP}$=0．
∴AQ⊥BC，AQ⊥BP，
又BC?平面PBC，BP?平面PBC，BC∩BP=B，
∴AQ⊥平面PBC．
（II）$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{2}$，0，0），$\overrightarrow{AQ}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），
设平面ABQ的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AQ}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x=0}\\{\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y+z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，-$\sqrt{2}$，1）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}$=-2，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{BC}$|=2，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BC}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BC}|}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
设直线BC与平面ABQ所成角为θ，则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BC}$＞|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴cosθ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴直线BC与平面ABQ所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题．