Question

已知等差数列{x_n}，S_n是{x_n}的前n和，且x₃=5，S₅+x₅=34
（1）求{x_n}的通项公式；
（2）判别方程sin²x_n+x_ncosx_n+1=S_n是否有解，说明理由．
（3）设a_n=（

1

3

）ⁿ，T_n是{a_n}前n项和，是否存在正数λ，对任意正整数n，k，使T_n-λx

2 k

＜λ²恒成立？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列,三角函数的求值,不等式的解法及应用

分析：（1）运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程，即可得到首项和公差，进而得到通项公式；
（2）化简整理，得到sin²（2n-1）+（2n-1）cos（2n-1）+1=n²，对n讨论，①n=1时，②n=2时，③n≥3时，解方程，结合正弦函数和余弦函数的值域，即可判断；
（3）方法一、通过等比数列的求和公式，运用恒成立思想，求出不等式左边的最大值，即可得到；
方法二、运用参数分离，结合等比数列的求和公式，数列的单调性，即可得到不等式解得即可．

解答： 解：（1）由x₃=5，S₅+x₅=34，
所以

x1+2d=5 6x1+14d=34

解得

x1=1 d=2

，
即有x_n=2n-1；
（2）由于sin²x_n+x_ncosx_n+1=S_n，由于x_n=2n-1，
S_n=

1

2

(1+2n-1)n=n²，
则方程为：sin²（2n-1）+（2n-1）cos（2n-1）+1=n²，
①n=1时，sin²1+cos1=0无解；
②n=2时，sin²3+3cos3+1=4所以cos²3-3cos3+2=0
所以cos3=1，cos3=2，无解；
③n≥3时，sin²（2n-1）+（2n-1）cos（2n-1）+1＜1+（2n-1）+1=2n+1＜n²，
所以sin²（2n-1）+（2n-1）cos（2n-1）+1=n²，无解．
综上所述，对于一切正整数原方程都无解；                        
（3）解法一：a_n=（

1

3

）ⁿ，则T_n=

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=

1

2

[1-（

1

3

）ⁿ]，
又T_n-λx

2 k

＜λ²恒成立，T_n＞0，λ＞0，
所以当T_n取最大值，x_k²取最小值时，T_n-λx

2 k

取到最大值．
又T_n＜

1

2

，x_k²=（2k-1）²≥1，所以

1

2

-λ≤λ²
即λ2+λ-

1

2

≥0  故λ≥

3 -1

2

；                                   
解法二：由T_n-λx

2 k

＜λ²恒成立，则

1

2

[1-（

1

3

）ⁿ]-λ（2k-1）²＜λ²恒成立．
即λ²+λ（2k-1）²＞

1

2

[1-（

1

3

）ⁿ]_max，λ²+λ（2k-1）²≥

1

2

，又λ＞0，
所以（2k-1）²≥

1 2 -λ2

λ

，[（2k-1）]_max≥

1 2 -λ2

λ

，
所以1≥

1 2 -λ2

λ

，
即λ²+λ-

1

2

≥0  故λ≥

3 -1

2

．

点评：本题考查等差和等比数列的通项公式和求和公式，考查三角函数值的求解，考查参数分离和不等式恒成立问题转化为最值问题，考查运算能力，和判断能力，属于中档题和易错题．