Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，对任意的n∈N^*，都有S_n=（m+1）-ma_n（m为常数，且m＞0）．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设数列{a_n}的公比q=f（m），数列{b_n}满足b₁=2a₁，b_n=f（b_n-1）（n≥2，n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求证：数列{b_n²}的前n项和Tn＜

89

18

．

Answer 1

分析：（1）当n≥2时根据a_n=S_n-S_n-1化简整理得

an

an-1

=

m

1+m

，根据等比数列的定义即可判断数列{a_n}为等比数列．
（2）由（1）可求得q和a₁，进而求得b₁，根据b_n=f（b_n-1）整理得即

1

bn

-

1

bn-1

=1进而判断数列为等差数列，根据首项和公差，进而可得数列的通项公式．
（3）根据（2）先可得出数列{b_n²}的通项公式bn2=

4

(2n-1)2

再根据

4

(2n-1)2

＜

4

2n(2n-2)

=

1

n-1

-

1

n

，通过裂项法求和即可证明原式．

解答：（1）证明：当n=1时，a₁=S₁=（m+1）-ma₁，解得a₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=ma_n-1-ma_n．
即（1+m）a_n=ma_n-1．
∵m为常数，且m＞0，∴

an

an-1

=

m

1+m

（n≥2）
∴数列{a_n}是首项为1，公比为

m

1+m

的等比数列．
（2）解：由（1）得，q=f（m）=

m

1+m

，b₁=2a₁=2．
∵bn=f(bn-1)=

bn-1

1+bn-1

，
∴

1

bn

=

1

bn-1

+1，即

1

bn

-

1

bn-1

=1（n≥2）．
∴{

1

bn

}是首项为

1

2

，公差为1的等差数列．
∴

1

bn

=

1

2

+(n-1)•1=

2n-1

2

，即bn=

2

2n-1

（n∈N^*）．
（3）证明：由（2）知bn=

2

2n-1

，则bn2=

4

(2n-1)2

．
所以T_n=b₁²+b₂²+b₃²++b_n²=4+

4

9

+

4

25

++

4

(2n-1)2

，
当n≥2时，

4

(2n-1)2

＜

4

2n(2n-2)

=

1

n-1

-

1

n

，
所以Tn=4+

4

9

+

4

25

++

4

(2n-1)2

＜4+

4

9

+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)++(

1

n-1

-

1

n

)=

40

9

+

1

2

-

1

n

＜

89

18

．

点评：本题主要考查了等比关系和等差关系的确定，及数列求和问题．裂项法是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．