已知双曲线的两个焦点为的曲线C上.(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)记O为坐标原点,过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F,若△OEF的面积为求直线l的方程
(Ⅰ) (Ⅱ)方程分别为y=和
解析试题分析:(Ⅰ)依题意,由a2+b2=4,得双曲线方程为(0<a2<4),
将点(3,)代入上式,得.解得a2=18(舍去)或a2=2,故所求双曲线方程为
(Ⅱ)依题意,可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理,得(1-k2)x2-4kx-6=0.
∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,
∴ ∴k∈(-)∪(1,).
设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得x1+x2=于是
|EF|=
=,而原点O到直线l的距离d=,
∴SΔOEF=
若SΔOEF=,即解得k=±,满足②.
故满足条件的直线l有两条,其方程分别为y=和
考点:双曲线的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题.
点评:本题主要考查了双曲线的方程和双曲线与直线的关系,注意计算的灵活处理,考查了学生综合运
算能力.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知M (-3,0)﹑N (3,0),P为坐标平面上的动点,且直线PM与直线PN的斜率之积为常数m (m,m0),点P的轨迹加上M、N两点构成曲线C.
求曲线C的方程并讨论曲线C的形状;
(2) 若,曲线C过点Q (2,0) 斜率为的直线与曲线C交于不同的两点A﹑B,AB中点为R,直线OR (O为坐标原点)的斜率为,求证 为定值;
(3) 在(2)的条件下,设,且,求在y轴上的截距的变化范围.
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已知点是椭圆的右焦点,点、分别是轴、
轴上的动点,且满足.若点满足.
(Ⅰ)求点的轨迹的方程;
(Ⅱ)设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点,直线、与直线分别交
于点、(为坐标原点),试判断是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,
请说明理由.
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己知椭圆的离心率为,是椭圆的左右顶点,是椭圆的上下顶点,四边形的面积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)圆过两点.当圆心与原点的距离最小时,求圆的方程.
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已知点是F抛物线与椭圆的公共焦点,且椭圆的离心率为
(1)求椭圆的方程;
(2)过抛物线上一点P,作抛物线的切线,切点P在第一象限,如图,设切线与椭圆相交于不同的两点A、B,记直线OP,FA,FB的斜率分别为(其中为坐标原点),若,求点P的坐标.
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已知椭圆的两焦点是F1(0,-1),F2(0,1),离心率e=
(1)求椭圆方程;(2)若P在椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求cos∠F1PF2。
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已知椭圆C的长轴长为,一个焦点的坐标为(1,0).
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)设直线l:y=kx与椭圆C交于A,B两点,点P为椭圆的右顶点.
(ⅰ)若直线l斜率k=1,求△ABP的面积;
(ⅱ)若直线AP,BP的斜率分别为,,求证:为定值.
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已知椭圆的右焦点为,离心率为。
(1)若,求椭圆的方程。
(2)设直线与椭圆相交于两点,分别为线段的中点。若坐标原点在以线段为直径的圆上,且,求的取值范围。
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