Question

18．f（x）=3sin（-$\frac{1}{5}$x+$\frac{3π}{10}$），若实数m满足f（$\sqrt{-{m}^{2}+2m+3}$）＞f（$\sqrt{-{m}^{2}+4}$），则m的取值范围是[-1，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 由二次函数性质可知0≤$\sqrt{-{m}^{2}+2m+3}$≤2，0≤$\sqrt{-{m}^{2}+4}$≤2，根据正弦函数的性质可得f（x）在[0，2]上单调递减，于是0≤$\sqrt{-{m}^{2}+2m+3}$）≤$\sqrt{-{m}^{2}+4}$≤2，利用二次函数性质解出m的范围．

解答 解：∵f（x）=3sin（-$\frac{1}{5}$x+$\frac{3π}{10}$）=-3sin（$\frac{x}{5}$-$\frac{3π}{10}$），实数m满足f（$\sqrt{-{m}^{2}+2m+3}$）＞f（$\sqrt{-{m}^{2}+4}$），
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{x}{5}$-$\frac{3π}{10}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解得-π+10kπ≤x≤4π+10kπ，
∴f（x）的单调减区间为[-π+10kπ，4π+10kπ]，k∈Z，∴f（x）在区间[0，2]上是减函数．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{-m}^{2}+2m+3≥0}\\{{-m}^{2}+4≥0}\\{{-m}^{2}+2m+3＜{-m}^{2}+4}\end{array}\right.$，求得-1≤m＜$\frac{1}{2}$，故不等式的解集为[-1，$\frac{1}{2}$），
故答案为：[-1，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了正弦函数的性质，二次函数的性质，函数单调性的应用，属于中档题．