Question

2．已知函数f（x）=ln（-x）+ax-$\frac{1}{x}$（a为常数），在x=-1时取极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设g（x）=f（-x）+2x，求g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题定义域为{x|x＜0}，由在x=-1时取极值，可得f′（-1）=0，解得a并验证即可得出．
（Ⅱ）g（x）=f（-x）+2x=lnx+$\frac{1}{x}$+2x（x＞0），g′（x）=$\frac{（2x-1）（x+1）}{{x}^{2}}$，利用导数研究单调性极值与最值即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由题定义域为{x|x＜0}，
f′（x）=$\frac{1}{x}+a+\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}+x+1}{{x}^{2}}$，
∵在x=-1时取极值，∴f′（-1）=$\frac{a}{{x}^{2}}$=0，解得a=0．
经过验证a=0满足条件．
（Ⅱ）g（x）=f（-x）+2x=lnx+$\frac{1}{x}$+2x（x＞0），
g′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$+2=$\frac{2{x}^{2}+x-1}{{x}^{2}}$=$\frac{（2x-1）（x+1）}{{x}^{2}}$，
∴g（x）在$（0，\frac{1}{2}]$上单调递减，在$[\frac{1}{2}，+∞）$上单调递增．
∴g（x）在x=$\frac{1}{2}$取得最小值$g（\frac{1}{2}）$=3-ln2．

点评 本题考查了利用导数研究单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．