Question

17．如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．
（Ⅰ） 求证：AC∥平面BEF；
（Ⅱ） 求平面BEF与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设AC∩BD=O，取BE中点G，连接FG，OG，由已知条件推导出四边形AFGO是平行四边形，由此能够证明AC∥平面BEF．
（Ⅱ）以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DE为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面ABCD的法向量和平面BEF的法向量，利用向量法能结合三角函数知识能求出平面BEF与平面ABCD所成角的正切值．

解答 （Ⅰ） 证明：设AC∩BD=O，取BE中点G，连接FG，OG
∴OG∥DE，且OG=$\frac{1}{2}$DE．
∵AF∥DE，DE=2AF，
∴AF∥OG，且OG=AF，
∴四边形AFGO是平行四边形，FG∥OA．
∴FG?平面BEF，AO?平面BEF，
∴AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．…（6分）
（Ⅱ）解：∵正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，
∴以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DE为z轴，建立空间直角坐标系，
∵DE=DA=2AF=2，
∴B（2，2，0），E（0，0，2），F（2，0，1），D（0，0，0），
设平面BEF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{-2x+z=0}\\{2y-z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，则y=1，z=2，$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
设平面ABCD与平面BEF所成二面角的平面角为α，由条件知α是锐角
平面ABCD的法向量可取为（0，0，1），
所以cosα=|$\frac{2}{1•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，所以tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$即为所求．

点评 本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面所成角的正切值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．