Question

3．设f（x）=ln（ax）（0＜a＜1），过点P（a，0）且平行于y轴的直线与曲线C：y=f（x）的交点为Q，曲线C在点Q处的切线交x轴于点R，则△PQR的面积的最大值是（　　）

• A． 1
• B． $\frac{4}{e^2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{8}{e^2}$

Answer 1

分析 求出切点Q的坐标，再求出函数的导数，并求出切线的斜率k，设出R点的坐标，由两点的斜率公式，写出斜率k，并求出r，求出△PQRS的面积为S，再运用导数求出S的最大值即可．

解答 解：∵PQ∥y轴，P（a，0），
∴Q（a，f（a））即（a，2lna），
又f（x）=ln（ax）（0＜a＜1）的导数f′（x）=$\frac{1}{x}$，
∴过Q的切线斜率k=$\frac{1}{a}$，
设R（r，0），
则k=$\frac{2lna}{a-r}$=$\frac{1}{a}$，
∴r=a-2alna，
即R（a-2alna，0），PR=2alna，
∴△PQR的面积为S=2a（lna）²，
导数S′=2lna（lna+2），由S′=0得a=e^-2，
当1＞a＞e^-2时，S′＜0，当0＜a＜e^-2时，S′＞0，
∴a=e^-2为极大值点，也为最大值点，
∴△PQR的面积的最大值为$\frac{8}{{e}^{2}}$．
故选D．

点评 本题主要考查导数的概念和应用，考查应用导数求切线方程，同时考查运用导数求最值，考查基本的运算能力，是一道中档题．