Question

18．已知不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+y≥4\\ x-y≥-2\\ x≤2\end{array}\right.$，表示的平面区域为D，点O（0，0）、A（1，0），若M是D上的动点，则向量$\overrightarrow{OA}$在向量$\overrightarrow{OM}$方向上的投影的最小值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{10}$
• D． $\frac{3\sqrt{10}}{10}$

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，设向量$\overrightarrow{OA}$与向量$\overrightarrow{OM}$的夹角为θ，求得向量$\overrightarrow{OA}$在向量$\overrightarrow{OM}$方向上的投影z=$|\overrightarrow{OA}|cosθ$．数形结合求出cosθ的最小值得答案．

解答 解：设M（x，y），则$\overrightarrow{OA}=（1，0），\overrightarrow{OM}=（x，y）$，
再设向量$\overrightarrow{OA}$与向量$\overrightarrow{OM}$的夹角为θ，
则向量$\overrightarrow{OA}$在向量$\overrightarrow{OM}$方向上的投影z=$|\overrightarrow{OA}|cosθ$．
由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x+y≥4\\ x-y≥-2\\ x≤2\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=-2}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，解得B（1，3），
∴cosθ的最小值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴向量$\overrightarrow{OA}$在向量$\overrightarrow{OM}$方向上的投影z=$|\overrightarrow{OA}|cosθ$的最小值为1×$\frac{\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故选：C．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．