Question

9．若$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$是夹角为60^o的两个单位向量，则$\overrightarrow a$=2$\overrightarrow{e_1}$+$\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow b$=-3$\overrightarrow{e_1}$+2$\overrightarrow{e_2}$夹角为（　　）

• A． 30^o
• B． 60^o
• C． 120^o
• D． 150^o

Answer 1

分析 根据平面向量是数量积定义计算$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$的值，再利用夹角的定义计算cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞，从而求出$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$夹角的大小．

解答 解：$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$是夹角为60^o的两个单位向量，
∴$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=1×1×cos60°=$\frac{1}{2}$；
又$\overrightarrow a$=2$\overrightarrow{e_1}$+$\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow b$=-3$\overrightarrow{e_1}$+2$\overrightarrow{e_2}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-6${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$+$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$+2${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=-6+$\frac{1}{2}$+2=-$\frac{7}{2}$，
|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）}^{2}}$=$\sqrt{4+4×\frac{1}{2}+1}$=$\sqrt{7}$
|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（-3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）}^{2}}$=$\sqrt{9-12×\frac{1}{2}+4}$=$\sqrt{7}$，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-\frac{7}{2}}{\sqrt{7}×\sqrt{7}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为120°．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的数量积与夹角大小的计算问题，是基础题．