Question

17．已知在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且acosC+ccosA=2bcosB，$b=\sqrt{3}$
（1）求证：角A，B，C成等差数列；
（2）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件以及正弦定理求出B的正弦值，然后求角B的大小，再根据等差数列的性质可以证明，
（2）由余弦定理可得：3=a²+c²-ac，由基本不等式可得：ac≤3，代入三角形的面积公式即可求出△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）证明：由acosC+ccosA=2bcosB以及正弦定理可知，
sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，
即sin（A+C）=2sinBcosB．
因为A+B+C=π，所以sin（A+C）=sinB≠0，
所以cosB=$\frac{1}{2}$．
∵B∈（0，π）
∴B=$\frac{π}{3}$，
∴A+C=π-B=$\frac{2π}{3}$=2B，
∴角A，B，C成等差数列，
（2）由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，
∴3=a²+c²-ac
∴3≥2ac-ac=ac
∴ac≤3，当且仅当a=c时取等号，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac≤$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴△ABC面积的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理及其应用和三角形的面积公式，基本不等式的应用，考查学生运用知识解决问题的能力，属于中档题．