Question

2．已知a＞0，b＞0，$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{4}$，若不等式2a+b≥4m恒成立，则m的最大值为9．

Answer 1

分析 利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a＞0，b＞0，$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{4}$，即$\frac{8}{a}+\frac{4}{b}$=1．
∴$\frac{2a+b}{4}$=$\frac{2a+b}{4}$×$（\frac{8}{a}+\frac{4}{b}）$=（2a+b）$（\frac{2}{a}+\frac{1}{b}）$=5+$\frac{2b}{a}$+$\frac{2a}{b}$≥5+2×$2\sqrt{\frac{b}{a}×\frac{a}{b}}$=9，
当且仅当a=b=12时取等号．
若不等式2a+b≥4m恒成立，则m的最大值为9．
故答案为：9．

点评 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．