Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于直线l₁于点P，线段PF₂的垂直平分线与l₁的交点的轨迹为曲线C₂，若点Q是C₂上任意的一点，定点A（4，3），B（1，0），则|QA|+|QB|的最小值为（　　）

• A． 6
• B． 3$\sqrt{3}$
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由题意可知设l₂：y=t，设P（-1，t），（t∈R），M（x，y），则y=t，且|MP|=|MF₂|，（x+1）²=（x-1）²+y²，化简可得：曲线C₂：y²=4x，根据抛物线的定义可知：，当A，Q，Q′三点共线时，|QA|+|QQ′丨取最小值，即可求得|QA|+|QB|的最小值．

解答 解：∵圆C：$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的左右焦点为F₁，F₂，
∴F₁（-1，0），F₂（1，0），直线l₁：x=-1，
设l₂：y=t，设P（-1，t），（t∈R），M（x，y），
则y=t，且|MP|=|MF₂|，
∴（x+1）²=（x-1）²+y²，
∴曲线C₂：y²=4x，
则B（1，0）为曲线C₂：y²=4x焦点，
过Q做QQ′垂直于曲线C₂的准线，
由抛物线的定义可知：丨QQ′丨=丨QB丨，
|QA|+|QB|=|QA|+|QQ′丨，当A，Q，Q′三点共线时，|QA|+|QQ′丨取最小值，
则Q′（-1，3），则|QA|+|QQ′丨的最小值为4-（-1）=5，
∴|QA|+|QB|的最小值5，
故选D．

点评 本题考查椭圆的标准方程，曲线轨迹方程的求法，抛物线的定义，考查数形结合思想，属于中档题．