Question

13．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}sinα-cosα}\\{y=3-2\sqrt{3}sinαcosα-2co{s}^{2}α}\end{array}\right.$ （α为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m
（1）求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（2）若曲线C₁与曲线C₂有公共点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三种方程的转化方法，求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（2）联立直线与抛物线，利用曲线C₁与曲线C₂有公共点，求实数m的取值范围．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}sinα-cosα}\\{y=3-2\sqrt{3}sinαcosα-2co{s}^{2}α}\end{array}\right.$，消去参数，可得y=x²（-2≤x≤2）
曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m，直角坐标方程为x-y+m=0；
（2）联立直线与抛物线可得x²-x-m=0，
∵曲线C₁与曲线C₂有公共点，
∴m=x²-x=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∵-2≤x≤2，
∴-$\frac{1}{4}$≤m≤6．

点评 本题考查三种方程的转化，考查直线与抛物线位置关系的运用，属于中档题．