Question

3．已知数列{a_n}满足a_n=（2n+m）+（-1）ⁿ（3n-2）（m∈N^*，m与n无关），若$\sum_{i=1}^{2m}$a_2i-1≤k²-2k-1对任意的m∈N^*恒成立，则正实数k的取值范围为[3，+∞）．

Answer 1

分析 由已知可得${a}_{2i-1}=[2（2i-1）+m]+（-1）^{2i-1}[3（2i-1）-2]$，再由等差数列的前n项和可得$\sum_{i=1}^{2m}$a_2i-1=m（4-2m）≤2，结合$\sum_{i=1}^{2m}$a_2i-1≤k²-2k-1可得k²-2k-1≥2，求解不等式得答案．

解答 解：由题意，${a}_{2i-1}=[2（2i-1）+m]+（-1）^{2i-1}[3（2i-1）-2]$=-2i+（m+3），
故$\sum_{i=1}^{2m}$a_2i-1=$\sum_{i=1}^{2m}$[-2i+（m+3）]=$\frac{2m[（m+1）-4m+（m+3）]}{2}=m（4-2m）$．
当m∈N^*时，$\sum_{i=1}^{2m}$a_2i-1=m（4-2m）≤2．
又$\sum_{i=1}^{2m}$a_2i-1≤k²-2k-1对任意m∈N^*恒成立，
∴k²-2k-1≥2，解得k≥3或k≤-1．
故正实数k的取值范围为[3，+∞）．
故答案为：[3，+∞）．

点评 本题考查数列求和，考查数学转化思想方法，训练了一元二次不等式的解法，是中档题．