Question

8．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$cos²2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2xcos2x+1
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{4}$]时，求f（x）的最值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{4}$]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，即得出f（x）的最大值和最小值．

解答 解：函数f（x）=$\frac{1}{2}$cos²2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2xcos2x+1
化简可得：f（x）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$cos4x）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin4x+1
=$\frac{1}{2}$sin（4x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{5}{4}$
（1）∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{4}=\frac{π}{2}$
（2）当x∈[0，$\frac{π}{4}$]时，
则4x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]
那么sin（4x+$\frac{π}{6}$）∈[$-\frac{1}{2}$，1]
当4x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$时，函数f（x）取得最小值为1，此时x=$\frac{π}{4}$；
当4x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为$\frac{7}{4}$，此时x=$\frac{π}{12}$．
∴当x∈[0，$\frac{π}{4}$]时，函数f（x）的最大值为$\frac{7}{4}$，最小值为1．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．