Question

17．若（$\sqrt{x}$-$\frac{3}{x}$）ⁿ的展开式中各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x的系数为（　　）

• A． 15
• B． 10
• C． -15
• D． -10

Answer 1

分析 （$\sqrt{x}$-$\frac{3}{x}$）ⁿ的展开式中各项系数绝对值之和与$（\sqrt{x}+\frac{3}{x}）^{n}$的展开式中各项系数之和相等．对$（\sqrt{x}+\frac{3}{x}）^{n}$，令x=1，则其展开式中各项系数之和=4ⁿ．解得n，再利用通项公式即可得出．

解答 解：（$\sqrt{x}$-$\frac{3}{x}$）ⁿ的展开式中各项系数绝对值之和与$（\sqrt{x}+\frac{3}{x}）^{n}$的展开式中各项系数之和相等．
对$（\sqrt{x}+\frac{3}{x}）^{n}$，令x=1，则其展开式中各项系数之和=4ⁿ．
∴4ⁿ=1024，解得n=5．
∴$（\sqrt{x}-\frac{3}{x}）^{5}$的通项公式T_r+1=${∁}_{5}^{r}$$（\sqrt{x}）^{5-r}$$（-\frac{3}{x}）^{r}$=（-3）^r${∁}_{5}^{r}$${x}^{\frac{5}{2}-\frac{3r}{2}}$，
令$\frac{5}{2}-\frac{3r}{2}$=1，解得r=1．
∴展开式中x的系数=-3×${∁}_{5}^{1}$=-15．
故选：C．

点评 本题考查了二项式定理的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．