Question

12．曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，则曲线C上的点到直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}}\\{y=-3t+2}\end{array}\right.$（t为参数）的最短距离是1．

Answer 1

分析 推导出曲线C是以C（0，1）为圆心以及为半径的圆，由此能求出曲线C上的点到直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}}\\{y=-3t+2}\end{array}\right.$（t为参数）的最短距离．

解答 解：∵曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，
∴曲线C的直角坐标方程x²+y²=2y，即x²+（y-1）²=1，
直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}}\\{y=-3t+2}\end{array}\right.$（t为参数）消去参数t，
得直线l的普通方程为$\sqrt{3}$x+y-5=0，
曲线C是以C（0，1）为圆心以及为半径的圆，
∴曲线C上的点到直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}}\\{y=-3t+2}\end{array}\right.$（t为参数）的最短距离：
d_min=$\frac{|0+1-5|}{\sqrt{3+1}}$-1=1．
故答案为：1．

点评 本题考查圆上的点到直线的距离的最小值的求法，考查极坐标方程与直角坐标方的互化、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．