Question

2．如图椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且右焦点F到左顶点A的距离为4+2$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N．
（i）当直线PA的斜率为$\frac{1}{2}$时，求△FMN的外接圆的方程；
（ii）设直线AN交椭圆C于另一点Q，求△APQ的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率可知：a=$\sqrt{2}$c，且a+c=4+2$\sqrt{2}$，即可求得a和b的值，b²=a²-c²=8，即可求得椭圆方程；
（2）（i）由直线FN的方程为y=$\frac{2\sqrt{2}}{4k}$（x-2$\sqrt{2}$），则N（0，-$\frac{2}{k}$），k=$\frac{1}{2}$时，求得MF⊥FN，则圆心为（0，-1），半径为3，即可求得△FMN的外接圆的方程；
（ii）设直线PA的方程为y=k（x+4），代入椭圆方程，求得P点坐标，同理即可求得Q点坐标，根据三角形的面积公式，利用基本不等式的性质，即可求得△APQ的面积的最大值．

解答 解：（1）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$c，①
右焦点F到左顶点A的距离为4+2$\sqrt{2}$，即a+c=4+2$\sqrt{2}$，②
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{c=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，b²=a²-c²=8，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$；
（2）由题可设直线PA的方程为y=k（x+4），k＞0，则M（0，4k），
∴直线FN的方程为y=$\frac{2\sqrt{2}}{4k}$（x-2$\sqrt{2}$），则N（0，-$\frac{2}{k}$），
（i）当直线PA的斜率为$\frac{1}{2}$，即k=$\frac{1}{2}$时，M（0，2），N（0，-4），F（2$\sqrt{2}$，0），
则$\overrightarrow{MF}$=（2$\sqrt{2}$，-2），$\overrightarrow{FN}$=（-2$\sqrt{2}$，-4），
由$\overrightarrow{MF}$•$\overrightarrow{FN}$=-8+8=0，
∴MF⊥FN，则圆心为（0，-1），半径为3，
△FMN的外接圆的方程x²+（y+1）²=9；
（ii）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+4）}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得，（1+2k²）x²+16k²x+32k²-16=0，
解得x₁=-4或x₂=$\frac{4-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，则P（$\frac{4-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$），
直线AN的方程为y=$\frac{1}{2k}$（x+4），同理可得，Q（$\frac{8{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，-$\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$），
∴P，Q关于原点对称，即PQ过原点．
∴△APQ的面积S=$\frac{1}{2}$•丨OA丨（y_P-y_Q）=2×$\frac{16k}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{32}{2k+\frac{1}{k}}$≤$\frac{32}{2\sqrt{2k×\frac{1}{k}}}$=8$\sqrt{2}$，
当且仅当2k=$\frac{1}{k}$，即k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，取“=”．
∴△APQ的面积的最大值为8$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，向量数量积的坐标运算，三角形的面积公式，基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．