Question

11．学校的校园活动中有这样一个项目．甲箱子中装有大小相同、质地均匀的4个白球，3个黑球．乙箱子中装有大小相同、质地均匀的3个白球，2个黑球．
（1）从两个箱子中分别摸出1个球，如果它们都是白球则获胜，有人认为，这两个箱子里装的白球比黑球多，所以获胜的概率大于0.5，你认为呢？并说明理由；
（2）如果从甲箱子中不放回地随机取出4个球．求取到的白球数的分布列和期望；
（3）如果从甲箱子中随机取出2个球放入乙箱中，充分混合后，再从乙箱中取出2个球放回甲箱，求甲箱中白球个数没有减少的槪率．

Answer 1

分析 （1）记“获胜”为事件A，利用相互独立事件概率乘法公式能求出“获胜”的概率小于0.5．
（2）设取出的白球的个数为变量为X，则X的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．
（3）记“甲箱中白球队个数没有减少”为事件B，利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式能求出甲箱中白球个数没有减少的槪率．

解答 解：（1）我认为“获胜”的概率小于0.5．
理由如下：
记“获胜”为事件A，
则P（A）=$\frac{4}{7}×\frac{3}{5}=\frac{12}{35}$＜0.5，
∴“获胜”的概率小于0.5．
（2）设取出的白球的个数为变量为X，
则X的可能取值为1，2，3，4，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{3}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{12}{35}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{18}{35}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{3}^{1}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{12}{35}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{4}^{4}{C}_{3}^{0}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{1}{35}$，
∴X的分布列为：

X	1	2	3	4
P	$\frac{4}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{1}{35}$

EX=$1×\frac{4}{35}+2×\frac{18}{35}+3×\frac{12}{35}+4×\frac{1}{35}=\frac{16}{7}$．
（3）记“甲箱中白球队个数没有减少”为事件B，
则P（B）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{2}}+\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{7}^{2}}+\frac{{C}_{4}^{2}+{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{7}^{2}}+\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{7}^{2}}•\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{7}^{2}}$=$\frac{113}{147}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望，相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．