Question

2．如图，已知长方形ABCD中，AB=2$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求证：AD⊥BM；
（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E-AM-D的余弦值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）推导出BM⊥AM，从而BM⊥平面ADM，由此能证明AD⊥BM．
（2）以O为原点，OA为x轴，ON为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出E为BD的三等分点．

解答 证明：（1）∵长方形ABCD中，$AB=2\sqrt{2}$，$AD=\sqrt{2}$，M为DC的中点，
∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM，
∴BM⊥平面ADM，
∵AD?平面ADM，∴AD⊥BM．
（2）以O为原点，OA为x轴，ON为y轴，OD为z轴，
建立如图所示的直角坐标系
设$\overrightarrow{DE}=λ\overrightarrow{DB}$，则平面AMD的一个法向量$\overrightarrow n=（{0，1，0}）$，
$\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MD}+λ\overrightarrow{DB}$=（1-λ，2λ，1-λ），$\overrightarrow{AM}=（{-2，0，0}）$，
设平面AME的一个法向量$\overrightarrow m=（{x，y，z}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ME}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}2x=0\\ 2λy+（{1-λ}）z=0\end{array}\right.$
取y=1，得x=0，y=1，$z=\frac{2λ}{λ-1}$，∴$\overrightarrow m=（{0，1，\frac{2λ}{λ-1}}）$，
∵$|{cos\left?{\overrightarrow m，\overrightarrow n}\right＞}|$=$\frac{{|{\overrightarrow m•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．∴得$λ=\frac{1}{3}$或λ=-1，经检验得$λ=\frac{1}{3}$满足题意．
∴E为BD的三等分点．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查满足条件的点位置的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．