Question

14．某年级举办团知识竞赛A、B、C、D四个班报名人数如下：

班别	A	B	C	D
人数	45	60	30	15

年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从10个关于团知识的题目中随机抽取4个作答，全部答对的同学获得一份奖品．
（I ）求各班参加竞赛的人数：
（II） 若B班每位参加竞赛的同学对每个题目答对的概率均为p，求B班恰好有2位同学获得奖品的概率；
（III） 若这10个题目，小张同学只有2个答不对，记小张答对的题目数为X，求X的分布列及数学期望E（X）

Answer 1

分析 （I ）根据分层抽样原理计算A、B、C、D各班参加竞赛的人数即可；
（II）由题意知B班每位参加竞赛的同学得奖品的概率，
根据n次独立重复实验恰有k 次发生的概率计算公式求出概率值；
（III） 由题意知X的可能取值，计算对应的概率，
写出X的分布列，计算数学期望．

解答 解：（I ）A班参加竞赛的人数为$\frac{45}{150}$×10=3，
B班参加竞赛的人数为$\frac{60}{150}$×10=4，
C班参加竞赛的人数为$\frac{30}{150}$×10=2，
D班参加竞赛的人数为$\frac{15}{150}$×10=1；
（II）根据题意，B班每位参加竞赛的同学得奖品的概率为
${C}_{4}^{4}$•p⁴=p⁴，
所以B班恰好有2位同学获得奖品的概率为
${C}_{4}^{2}$•（p⁴）²•（1-p⁴）²=6p⁸（1-p⁴）²；
（III） 由题意，X的可能取值为2，3，4，且X服从超几何分布；
且P（X=2）=$\frac{{C}_{8}^{2}{•C}_{2}^{2}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{2}{15}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{8}^{3}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{8}{15}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{8}^{4}{•C}_{2}^{0}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{1}{3}$，
所以X的分布列为；

X	2	3	4
P	$\frac{2}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{3}$

数学期望为E（X）=2×$\frac{2}{15}$+3×$\frac{8}{15}$+4×$\frac{1}{3}$=$\frac{16}{5}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是综合题．