Question

16．已知函数f（x）=x³-3x，若对于区间[-3，2]上任意的x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t，则实数t的最小值是20．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数和极值，以及区间端点处的函数值，比较可得最值，即可得到|f（x₁）-f（x₂）|的最大值，进而得到t的范围，可得所求最小值．

解答 解：函数f（x）=x³-3x的导数为f′（x）=3x²-3，
令f′（x）=0，解得x=±1，
所以1，-1为函数f（x）的极值点．
因为f（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2，
所以在区间[-3，2]上，f（x）_max=2，f（x）_min=-18，
所以对于区间[-3，2]上任意的x₁，x₂，|f（x₁）-f（x₂）|≤20，
所以t≥20，从而t的最小值为20．
故答案为：20．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用导数，求极值和区间端点处的函数值，考查转化思想和运算能力，属于中档题．