Question

6．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD，E、F分别为棱AB、PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求三棱锥B-EFC的体积；
（3）求二面角P-EC-D的正切值．

Answer 1

分析 （1）取PD中点G，连结GF、AG，由三角形中位线定理可得GF∥CD且$GF=\frac{1}{2}CD$，再由已知可得AE∥CD且$AE=\frac{1}{2}CD$，从而得到EFGA是平行四边形，则EF∥AG，然后利用线面平行的判定可得EF∥面PAD；
（2）取AD中点O，连结PO，由面面垂直的性质可得PO⊥面ABCD，且$PO=\sqrt{3}$，求出F到面ABCD距离$d=\frac{PO}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，然后利用等积法求得三棱锥B-EFC的体积；
（3）连OB交CE于M，可得Rt△EBC≌Rt△OAB，得到OM⊥EC．进一步证得PM⊥EC，可得∠PMO是二面角P-EC-D的平面角，然后求解直角三角形可得二面角P-EC-D的正切值．

解答 （1）证明：取PD中点G，连结GF、AG，
∵GF为△PDC的中位线，∴GF∥CD且$GF=\frac{1}{2}CD$，
又AE∥CD且$AE=\frac{1}{2}CD$，∴GF∥AE且GF=AE，
∴EFGA是平行四边形，则EF∥AG，
又EF?面PAD，AG?面PAD，
∴EF∥面PAD；
（2）解：取AD中点O，连结PO，
∵面PAD⊥面ABCD，△PAD为正三角形，∴PO⊥面ABCD，且$PO=\sqrt{3}$，
又PC为面ABCD斜线，F为PC中点，∴F到面ABCD距离$d=\frac{PO}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
故${V_{B-EFC}}={V_{F-BCE}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$；
（3）解：连OB交CE于M，可得Rt△EBC≌Rt△OAB，
∴∠MEB=∠AOB，则∠MEB+∠MBE=90°，即OM⊥EC．
连PM，又由（2）知PO⊥EC，可得EC⊥平面POM，则PM⊥EC，
即∠PMO是二面角P-EC-D的平面角，
在Rt△EBC中，$BM=\frac{BE•BC}{CE}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，∴$OM=OB-BM=\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$，
∴$tan∠PMO=\frac{PO}{OM}=\frac{{\sqrt{15}}}{3}$，即二面角P-EC-D的正切值为$\frac{{\sqrt{15}}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查二面角的平面角及其求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．