Question

17．已知函数f（x）=x³+3ax²+3bx在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线平行于直线6x+2y+5=0，则f（x）的极大值与极小值之差为4．

Answer 1

分析 先对函数进行求导，由题意可得f′（2）=0，f′（1）=-3，代入可求出a、b的值，进而可以求出函数的单调区间，函数的极大值为f（0）=0，极小值为f（2）=-4，即可得出函数的极大值与极小值的差．

解答 解：对函数求导可得f′（x）=3x²+6ax+3b，
因为函数f（x）在x=2取得极值，所以f′（2）=3•2²+6a•2+3b=0，
即4a+b+4=0①，
又因为图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行，
所以f′（1）=3+6a+3b=-3，
即2a+b+2=0②，
联立①②可得a=-1，b=0，
所以f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
当f′（x）＞0时，x＜0或x＞2；当f′（x）＜0时，0＜x＜2，
∴函数的单调增区间是 （-∞，0）和（2，+∞），函数的单调减区间是（0，2），
因此求出函数的极大值为f（0）=0，极小值为f（2）=-4，
故函数的极大值与极小值的差为0-（-4）=4，
故答案为：4．

点评 本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，以及利用导数解决函数在闭区间上的最值问题和函数恒成立问题．