Question

【题目】已知数列{an}是等比数列，首项a1＝1，公比q>0，其前n项和为Sn，且S1＋a1，S3＋a3，S2＋a2成等差数列.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足an＋1＝，Tn为数列{bn}的前n项和，若Tn≥m恒成立，求m的最大值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)1.

【解析】试题分析：

(1)由题意可知2(S3＋a3)＝(S1＋a1)＋(S2＋a2)，据此整理计算可得： ，则数列的通项公式为.

(2)由题意结合和(1)中求得的通项公式可得，错位相减有Tn＝1＋(n－1)2n.则原问题等价于(Tn)min≥m.结合数列{Tn}为递增数列可得m的最大值为1.

试题解析：

(1)由题意可知

2(S3＋a3)＝(S1＋a1)＋(S2＋a2)，

∴S3－S1＋S3－S2＝a1＋a2－2a3，

即4a3＝a1，

于是，∵q>0，∴.

∵a1＝1，∴ .

(2)∵an＋1＝()anbn，

∴()n＝()anbn，∴，

∴，①

∴，②

∴①－②得－Tn＝1＋2＋22＋…＋－n·2n＝－n·2n＝(1－n)2n－1，

∴Tn＝1＋(n－1)2n.

要使Tn≥m恒成立，

只需(Tn)min≥m.

∵Tn＋1－Tn＝n·2n＋1－(n－1)·2n＝(n＋1)·2n>0，

∴{Tn}为递增数列，

∴当n＝1时，(Tn)min＝1，

∴m≤1，∴m的最大值为1.