Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁，右焦点为F₂，离心率e=

1

2

，过F₁的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF₂的周长为8．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设椭圆左，右顶点分别为C、D，P为直线x=

a2

c

上一动点，PC交椭圆于M，PD交椭圆于N，试探究在坐标平面内是否存在定点Q，使得直线MN恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在（2）的前提下，问当P在何处时，使得S_△CMN最大？

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）运用离心率公式，和椭圆的定义，求得a，c，再由a，b，c的关系，得到b，进而得到椭圆方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程求出交点M，N，求出直线MN的斜率，求得直线方程，即可得到定点；
（3）运用三角形面积公式，S_△CMN=

1

2

|CQ|•|y_M-y_N|=

3

2

|y_M-y_N|，由于由于MN恒过定点（1，0），且y_M•y_N＜0，则当|y_M|=|y_N|=

b2

a

=

3

2

时，面积取得最大值，解方程即可得到t=3．

解答： 解：（1）离心率e=

1

2

，即有a=2c，
过F₁的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF₂的周长为8，
由椭圆的定义，可得，AF₁+AF₂=BF₁+BF₂=2a，
则有4a=8，解得，a=2，c=1，b=

3

，
则椭圆方程为：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由椭圆：

x2

4

+

y2

3

=1，可得，C（-2，0），D（2，0），
P为直线x=4上一点，设为（4，t），则直线PC：y=

t

6

（x+2），
联立椭圆方程，解得交点M（

54-2t2

27+t2

，

18t

27+t2

），
直线PN：y=

t

2

（x-2），联立椭圆方程，求得交点N（

2t2-6

3+t2

，

-6t

3+t2

），
则求得两点M，N的斜率为k=

6t3+54t

81-t4

=

6t

9-t2

，
直线MN的方程为：y=

6t

9-t2

x+

6t

t2-9

=

6t

9-t2

（x-1），
则直线MN恒过定点（1，0），
则在坐标平面内存在定点Q，使得直线MN恒过点Q（1，0）；
（3）S_△CMN=

1

2

|CQ|•|y_M-y_N|=

3

2

|y_M-y_N|，由于MN恒过定点（1，0），
且y_M•y_N＜0，则当|y_M|=|y_N|=

b2

a

=

3

2

时，面积取得最大值，此时t＞0，
且

18t

27+t2

=

3

2

，

54-2t2

27+t2

=1，解得，t=3．
即有当P在点（4，3）时，使得S_△CMN最大．

点评：本题考查椭圆的方程和性质、定义，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，考查直线恒过定点问题，考查三角形的面积的最大问题，属于中档题．