Question

20．已知数列{a_n}是递增的等比数列，且a₁+a₃=17，a₁a₃=16
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n+11，T_n为数列{b_n}前n项的绝对值之和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列的定义即可求出，
（2）先化简b_n，当1≤n≤6时，b_n＞0；当n≥7时，b_n＜0．分类计算即可．

解答 解：（1）由a₁+a₃=17，a₁a₃=16，解得a₁=1，a₃=16，或a₁=16，a₃=1，
∵数列{a_n}是递增的等比数列，
∴a₁=1，a₃=16，
∴q²=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}}$=16，解得q=4
∴a_n=4^n-1，
（2）b_n=log${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n+11=13-2n，
由b_n=13-2n≥0，得n≤$\frac{13}{2}$，
∴当1≤n≤6时，b_n＞0；当n≥7时，b_n＜0．
当1≤n≤6时，T_n=|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|=b₁+b₂+b₃+…+b_n=12n-n²，
当n≥7时，T_n=|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|=b₁+b₂+b₃+…+b₆-（b₇+b₈+b₉+…+b_n）=2S₆-S_n=n²-12n+72，
综上可知：Tn=$\left\{\begin{array}{l}{12n-{n}^{2}，1≤n≤6}\\{{n}^{2}-12n+72，n≥7}\end{array}\right.$

点评 本题考查了等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式，属于中档题．