Question

函数f（x）=

-x2-2x+3，x≤0 |2-lnx|，x＞0

，直线y=m与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为a，b，c，d，下列说法错误的是（　　）

• A、m∈[3，4）
• B、abcd∈[0，e⁴）
• C、a+b+c+d∈[e⁵+

  1

  e

  -2，e⁶+

  1

  e2

  -2）
• D、若关于x的方程f（x）+x=m恰有三个不同实根，则m取值唯一

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：数形结合,函数的性质及应用

分析：对于①画出y=f（x）与y=m的图象即可；对于②，结合图象把abcd的不等式用m表示出来；
对于③同样用m把a+b+c+d表示出来；对于④若关于x的方程f（x）+x=m恰有三个不同实根，则y=f（x）与y=-x+m有三个不同的交点，画图即可．

解答： 解：∵函数f（x）=

-x2-2x+3，x≤0 |2-lnx|，x＞0

，即f（x）=

-(x+1)2+4，x≤0 |2-lnx|，x＞0

，
∴函数f（x）的图象如下：


若直线y=m与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，由图可知m∈[3，4），故①正确；
四个交点横坐标从小到大，依次记为a，b，c，d，则a，b是x²+2x+m-3=0的两根，
∴a+b=-2，ab=m-3，∴ab∈[0，1），且lnc=2-m，lnd=2+m，∴ln（cd）=4∴cd=e⁴，
∴abcd∈[0，e⁴），∴②是正确的；
由2-lnx=4得x=

1

e2

，由2-lnx=3得x=

1

e

，∴c∈（

1

e2

，

1

e

]，又∵cd=e⁴，
∴a+b+c+d=c+

e4

c

-2在（

1

e2

，

1

e

]是递减函数，∴a+b+c+d∈[e⁵+

1

e

-2，e⁶+

1

e2

-2）； 
∴③是正确的；
若关于x的方程f（x）+x=m恰有三个不同实根，则y=f（x）与y=-x+m有三个不同的交点，
而直线y=-x+3 与y=-x+

13

4

均与y=f（x）有三个交点，∴m不唯一．∴④是不正确的．
故选D．

点评：本题考查函数的图象，分段函数，零点与方程的根之间的关系，综合性较强．