已知函数f(x)=x3+x-16,
(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;
(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;
(1) y=13x-32. (2)直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).
解析试题分析:(1)∵f(2)=23+2-16=-6, 2分
∴点(2,-6)在曲线上.
∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1,
∴在点(2,-6)处的切线的斜率为
k=f′(2)=3×22+1=13. 4分
∴切线的方程为y=13(x-2)+(-6).
即y=13x-32. 6分
(2)设切点为(x0,y0),
则直线l的斜率为f′(x0)=3 x02+1, 8分
∴直线l的方程为:
y=(3 x02+1)(x-x0)+x02+x0-16.
又∵直线l过点(0,0),
∴0=(3 x02+1)(-x0)+x02+x0-16, 10分
整理得x02=-8,
∴x0=-2,y0=(-2)3+(-2)-16=-26,
∴k=3(-2)2+1=13, 12分
∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26). 13分
考点:本题考查了导数的运用
点评:函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在p(x0, f(x0))处的切线的斜率f'(x0).相应地,切线方程为 y-y0= f' (x0)(x-x0).
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)
已知函数,
(Ⅰ)讨论函数的单调区间和极值点;
(Ⅱ)若函数有极值点
,记过点
与原点的直线斜率为
。是否存在
使
?若存在,求出
值;若不存在,请说明理由。
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