Question

已知函数f(x)＝x³＋x－16，
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；

Answer 1

(1) y＝13x－32. (2)直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．

解析试题分析：(1)∵f(2)＝2³＋2－16＝－6，                          2分
∴点(2，－6)在曲线上．
∵f′(x)＝(x³＋x－16)′＝3x²＋1，                 
∴在点(2，－6)处的切线的斜率为
k＝f′(2)＝3×2²＋1＝13.                                   4分
∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)．
即y＝13x－32.                                           6分
(2)设切点为(x₀，y₀)，
则直线l的斜率为f′(x₀)＝3 x₀²＋1，                         8分
∴直线l的方程为：
y＝(3 x₀²＋1)(x－x₀)＋x₀²＋x₀－16.
又∵直线l过点(0,0)，
∴0＝(3 x₀²＋1)(－x₀)＋x₀²＋x₀－16，                         10分
整理得x₀²＝－8，
∴x₀＝－2，y₀＝(－2)³＋(－2)－16＝－26，
∴k＝3(－2)²＋1＝13，                                     12分
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．           13分
考点：本题考查了导数的运用
点评：函数y=f(x)在点x₀处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在p(x₀, f(x₀))处的切线的斜率f^'(x₀).相应地，切线方程为 y-y₀= f^' (x₀)(x-x₀).