Question

已知函数f（x）=

x+2

+k，k为已知的实数．
（1）求函数f（x）的值域；并判断其在定义域上的单调性（不必证明）；
（2）当k=-2时，设f（x）≤0的解集为A，函数g（x）=lg（sin²

π

6

x-3sin

π

6

xcos

π

6

x+acos²

π

6

x）的定义域为B，若（A∪B）⊆B，求实数a的取值范围；
（3）若存在实数-2≤a＜b，使f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,集合的包含关系判断及应用,函数的值域

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质,集合

分析：（1）根据函数f（x）的解析式，求出它的定义域和值域，并判断它的单调性；
（2）求k=-2时，f（x）≤0的解集A，由（A∪B）⊆B得，A⊆B；转化为-2≤x≤2时，sin²

π

6

x-3sin

π

6

xcos

π

6

x+acos²

π

6

x恒成立，从而求出对应a的取值范围；
（3）由题意，得方程

x+2

+k=x有两个不等根，令

x+2

=t，化为2t²-t-4-k=0在[0，+∞）上有两个不等实根，从而求出k的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

x+2

+k，
∴

x+2

≥0，
∴

x+2

+k≥k，
∴函数f（x）的值域是[k，+∞）；
又∵x+2≥0，∴x≥-2，
∴在f（x）的定义域[-2，+∞）上是单调增函数；
（2）当k=-2时，f（x）≤0可化为

x+2

-2≤0，
解得-2≤x≤2，
∴该不等式的解集为A=[-2，2]；
由（A∪B）⊆B得，A⊆B；
即-2≤x≤2时，sin²

π

6

x-3sin

π

6

xcos

π

6

x+acos²

π

6

x恒成立；
当cos

π

6

x=0，即x=6k+3，k∈Z时，g（x）=lg1=0，（A∪B）⊆B不成立；
当cos

π

6

x≠0时，由sin²

π

6

x-3sin

π

6

xcos

π

6

x+acos²

π

6

x＞0得：
tan²

π

6

x-3tan

π

6

x+a＞0；
由-2≤x≤2得，-

π

3

≤

π

6

x≤

π

3

，-

3

≤tan

π

6

x≤

3

；
令t=tan

π

6

x，则t²-3t+a＞0，
即a＞-t²+3t在[-

3

，

3

]上恒成立；
当t=

3

2

时，-t²+3t取得最大值

9

4

；
∴a＞

9

4

；
即实数a的取值范围为（

9

4

，+∞）；
（3）∵f（x）在定义域上递增；
∴

f(a)= a+2 +k=2a f(b)= b+2 +k=2b

；
∴方程

x+2

+k=x有两个不等根；
令

x+2

=t，则t+k=2（t²-2）；
即2t²-t-4-k=0在[0，+∞）上有两个不等根；
∴

△=1-4×2(-4-k)＞0 -4-k 2 ≥0

，
解得-

33

8

＜k≤-4；
∴实数k的取值范围为（-

33

8

，-4]．

点评：本题考查了函数的定义域、值域的应用问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，以及函数单调性和闭区间上最值问题，是综合性题目．