Question

已知数列{x_n}满足x₁=

1

2

，且x_n+1=

xn

2-xn

，（n∈N⁺）
（1）用数学归纳证明：0＜x_n＜1
（2）设a_n=

1

xn

，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据数学归纳法的证明步骤进行证明；
（2）设a_n=

1

xn

，可得{a_n-1}是以1为首项，以2为公比的等比数列，即可求数列{a_n}的通项公式．

解答： （1）证明：①当n=1时，x₁=

1

2

∈（0，1），
②假设当n=k时，结论成立，即x_k∈（0，1），
则当n=k+1时，x_k+1=f（x_k）=

xk

2-xk

∵x_k∈（0，1），
∴

xk

2-xk

∈（0，1），
即n=k+1时结论成立
综上①②可知0＜x_n＜1；…（6分）
（2）解：由x_n+1=

xn

2-xn

可得：

1

xn+1

=

2

xn

-1
∵a_n=

1

xn

，
∴a_n+1=2a_n-1，
∴a_n+1-1=2（a_n-1）…（8分）
又a₁-1=1
∴{a_n-1}是以1为首项，以2为公比的等比数列，
∴a_n-1=2^n-1，
即a_n=2^n-1+1…（12分）

点评：本题考查根据递推关系求数列的通项公式的方法，考查数学归纳法，证明n=k+1时，是解题的难点．