Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2．
（1）求证：AD⊥平面PQB；
（2）若PM=

1

3

PC，平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M-BQ-C的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连结BD，由已知得△ABD是正三角形，AD⊥BQ，由等腰三角形性质得AD⊥PQ，由此能证明AD⊥平面PQB．
（2）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Q-xyz，求出平面MQB的法向量和平面ABCD的法向量，由此利用向量法能求出二面角M-BQ-C的大小．

解答： （1）证明：连结BD，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD是正三角形，又Q为AD中点，∴AD⊥BQ，
∵PA=PD，Q为AD的中点，
∴AD⊥PQ，又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB．
（2）解：∵PQ⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，
以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP所在直线为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系Q-xyz，
由PA=PD=AD=2，则B（0，

3

，0），C（-2，

3

，0），
P（0，0，

3

），设M（a，b，c），
则

PM

=（a，b，c-

3

），

PC

=（-2，

3

，-

3

），
∵PM=

1

3

PC，∴

PM

=

1

3

PC

，
∴a=-

2

3

，b=

3

3

，c=

2 3

3

，∴M（-

2

3

，

3

3

，

2 3

3

），
设平面MQB的法向量

n

=（x，y，z），
由

QM

=（-

2

3

，

3

3

，

2 3

3

），

QB

=（0，

3

，0），
且

n

⊥

QM

，

n

⊥

QB

，得

- 2 3 x+ 2 3 3 z=0 3 y=0

，
取z=1，得

n

=（

3

，0，1），
又平面ABCD的法向量

m

=（0，0，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

2

，
由图知二面角M-BQ-C的平面角为锐角，
∴二面角M-BQ-C的大小为60°．

点评：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，是中档题．