Question

对于c＞0，当非零实数a、b满足a²-2ab+2b²=c且使|a+b|最大时，

3

a

-

4

b

+

5

c

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：首先把：a²-2ab+2b²=c，转化为c=（a-b）²+b²，再由柯西不等式得到|a+b|²，分别用b表示a，c，在代入到

3

a

-

4

b

+

5

c

得到关于b的函数，求出最小值即可．

解答： 解：∵a²-2ab+2b²=c，
∴c=（a-b）²+b²，
由柯西不等式得，[（a-b）²+b²]（1+4）≥|a+b|²
故当|a+b|最大时，有a-b=

b

2

∴a=

3

2

b，c=

5

4

b²
∴

3

a

-

4

b

+

5

c

=

4

b2

-

2

b

=4（

1

b

-

1

4

）²+

1

4

当b=4时，取得最小值为

1

4

．
故答案为：

1

4

．

点评：本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题．